设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

题目

设Ω是由曲面z=2-x²-y²及z=x²+y²所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

答案

由于曲面z=2-x²-y²及z=x²+y²所的交线是x²+y²=1，因此
Ω在xOy面上的投影区域为D：x²+y²≤1
∴Ω的体积为
 V＝

∭

Ω

dv＝

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

ρdρ

∫

2−ρ2 ρ2

dz
=

∫

2π  0

dθ

∫

1  0

(2−2ρ2)ρdρ
=2π[ρ2−

ρ4

2

]

1 0

=π．

首先，求出Ω在xoy面的投影；然后将Ω的体积转化为三重积分计算即可．

本题考点：三重积分的计算．

考点点评：此题考查三重积分在柱面坐标系下的计算，但首先要找到积分函数和积分区域．