已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且.a2是a1、a4的等比中项,n∈N*. (I)求数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn记数列{1/Sn}的前n项和为T
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已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且.a2是a1、a4的等比中项,n∈N*. (I)求数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn记数列{1/Sn}的前n项和为T
题目
已知数列{a
n
}是公差不为0的等差数列,a
1
=2,且.a
2
是a
1
、a
4
的等比中项,n∈N
*
.
(I)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅱ)若数列{a
n
}的前n项和为S
n
记数列
{
1
S
答案
(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0),
由题意得
a
2
2
=
a
1
a
4
,即
(
a
1
+d)
2
=
a
1
(
a
1
+3d)
,
∴(2+d)
2
=2(2+3d),解得 d=2,或d=0(舍),
∴a
n
=a
1
+(n-1)d=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
S
n
=n
a
1
+
n(n−1)
2
d=2n+n(n−1)=
n
2
+n
,
∴
1
S
n
=
1
n
2
+n
=
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
,
∴
T
n
=
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
=
(1−
1
2
)+(
1
2
−
1
3
)+…+(
1
n
−
1
n+1
)
,
=
1−
1
n+1
,
∵n∈N
*
,∴T
n
<1.
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