已知函数f（x）=x2-ax-a， （1）若存在实数x，使得f（x）＜0，求实数a的取值范围； （2）设g（x）=|f（x）|，且g（x）在区间[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=x²-ax-a，
（1）若存在实数x，使得f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=|f（x）|，且g（x）在区间[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

答案

（1）f（x）=x²-ax-a=(x−

a

2

)2-

a2

4

−a
∵存在实数x，使得f（x）＜0，
∴-

a2

4

−a＜0，
∴a＞0或a＜-4；
（2）当-4≤a≤0时，g（x）在[

a

2

，+∞）上单调递增，则

a

2

≤0，即-4≤a≤0；
当a＞0或a＜-4时，设g（x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，此时g（x）在区间[x₂，+∞）或[x₁，

a

2

]上单调递增
若[0，1]⊂[x₂，+∞），则

f(0)≥0 a 2 ≤0

，∴a＜-4；
若[0，1]⊂[x₁，

a

2

]，则

f(0)≤0 a 2 ≥1

，∴a≥2
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

（1）存在实数x，使得f（x）＜0，即函数的最小值小于0，由此可求实数a的取值范围；
（2）分类讨论，利用[0，1]是函数单调递增区间的子集，结论不等式，即可求实数a的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质；二次函数的性质．

考点点评：本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．