判断y=1-2x3 在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．

题目

判断y=1-2x³ 在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．

答案

证明：f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上为单调减函数，证明如下
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=（1-2x³₁）-（1-2x³₂）
=2（x³₂-x₁³）
=2（x₂-x₁）（x²₂+x₁x₂+x²₁）
=2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，
又（x₁+x₂）²≥0，

3

4

x22≥0，且（x₁+x₂）²，

3

4

x22不同时为0，
∴2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂） 
故f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上为单调减函数．