x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a>0恒成立,求a的范围
题目
x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a>0恒成立,求a的范围
答案
设f(x)=(a^2-1)x+2a,图像是一条直线
(1)当a^2-1>0,即a>1或a<-1;直线斜率为正,单调递增,在[0,1]上最小值是f(0),故满足f(0)>0即可
f(0)=2a>0,所以a>1满足;
(2)当a=1时,也满足;
(3)当a^2-1<0,即-1<a<1时,直线斜率为负,单调递减,在[0,1]上最小值是f(1),故满足f(1)>0即可
f(1)=a^2+2a-1>0
即a^2+2a-1>0
a^2+2a+1-2>0
a^2+2a+1>2
(a+1)^2>2
a+1>√2,a+1<﹣√2;
a>√2-1,a<﹣√2-1
所以,1>a>√2-1
综上所述:a>√2-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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