已知m,n都是正整数,且m不等于n,求证：m^4+4n^4一定可以表示为四个自然数的平方和.

题目

已知m,n都是正整数,且m不等于n,求证：m^4+4n^4一定可以表示为四个自然数的平方和.

答案

m^4+4n^4=(m^2+2n^2)^2-4m^2n^2
=(m^2+2n^2+2mn)(m^2+2n^2-2mn)
=[(m+n)^2+n^2][(m-n)^2+n^2]
=(m+n)^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^4
=(m^2-n^2)^2+(mn+n^2)^2+(mn-n^2)^2+(n^2)^2 （1）式
因为m、n为正整数
所以 （1）式为4个自然数的平方和
所以 正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和