求函数y=x2−8x+20+x2+1的最小值．

题目

求函数y=

x2−8x+20

+

x2+1

的最小值．

答案

y＝

x2−8x+20

+

x2+1

=

(x−4)2+(0−2)2

+

(x−0)2+(0−1)2

；
∴y表示平面直角坐标系中：点（x，0）到点A（4，2）的距离与点（x，0）到点B（0，1）的距离的和；
如图：

作A点关于x轴的对称点C（4，-2），连接BC，则BC的长度即是y的最小值；
∴|BC|=

16+9

＝5；
∴原函数y的最小值是5．

把原函数解析式变成：y＝

(x−4)2+(0−2)2

+

(x−0)2+(0−1)2

，所以y可看成平面直角坐标系中，点（x，0）到点A（4，2）的距离与点（x，0）到点B（0，1）的距离的和，所以作（4，2）关于x轴的对称点C，连接BC，则BC的长度便是y的最小值，所以求BC的长度即可．

本题考点：函数的值域．

考点点评：考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，转化的方法：将求函数的最小值转化成求距离和的最小值，数形结合的解题方法．