f(x)在[-1,1]连续,证明 ∫∫f(x+y)dxdy=∫[-1,1]f(t)dt,D:|x|+|y|≤1.

题目

f(x)在[-1,1]连续,证明 ∫∫f(x+y)dxdy=∫[-1,1]f(t)dt,D:|x|+|y|≤1.

答案

以y轴分为界线,将区域为分两部分,左边为D1,右边为D2当积分区域为D1时：∫∫f(x+y)dxdy=∫[-1---->0] dx ∫[-1-x---->1+x] f(x+y)dy对内层积分换元令x+y=t,则dy=dt,t：-1--->2x+1=∫[-1---->0] dx ∫[-1---->2x+1] f(...