在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.求证：a的平方乘以sin2B+b的平方乘以sin2B=2absinC.

题目

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.求证：a的平方乘以sin2B+b的平方乘以sin2B=2absinC.

答案

证明：由正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=R
从而a^2*sin2B+b^2*sin2A=2R^2*(sinA^2*sinBcosB+sinAcosA*sinB^2)
=2R^2*sinAsinB(cosBsinA+sinBcosA)
=2ab*sin(A+B)
=2ab*sin(180-A-B)
=2absinC
∴a的平方乘以sin2B+b的平方乘以sin2B=2absinC.