周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________

题目

周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________
第二空,（根号2）l/4)

答案

设矩形的4条边为 a a b b
周长为1 则 2a+2b=1 a+b=1/2
矩形面积=a*b
由不等式 a*b=2ab 左右两边同加2ab
a^2+2ab+b^2>=4ab 则4ab=2ab 左右两边同加 a^2+b^2 2a^2+2b^2>=(a+b)^2 则a^2+b^2>=(a+b)^2/2）
得对角线=根号（a^2+b^2）>=根号（1/8）=根号（2）/4
当且仅当a=b=1/4时取得最小值