求∫（0到π/2）（e^(2t)×cost)dt的详解.

题目

求∫（0到π/2）（e^(2t)×cost)dt的详解.

答案

先求∫(e^(2t)cost)dt
=(1/2)∫costd(e^(2t))
=(1/2)coste^(2t)+(1/2)∫e^(2t)sintdt
=(1/2)coste^(2t)+(1/4)∫sintd(e^(2t))
=(1/2)coste^(2t)+(1/4)sinte^(2t)-(1/4)∫e^(2t)costdt
【上式出现类似左边原积分】
移项,两边同时乘以4/5,得
∫e^(2t)costdt=(2/5)coste^(2t)+(1/5)sinte^(2t)+C=f(t)
所以,原定积分=f(π/2)-f(0)=(1/5)e^π-(2/5)