一道关于二阶连续偏导数的题

题目

一道关于二阶连续偏导数的题
若：Z乘以[α(z)]^2/α(x)α(y)=α(z)/α(x)乘以α(z)/α(y) 成立
证明Z=Z(x,y)是两个一元函数的乘积?
设u=α(z)/α(x) 则原式为 Z乘α(u)/α(y)=u乘α(z)/α(y)
第一个疑问：解题中说：当Z恒为零时,则设Z=f(x)g(x) 则f(x)、g(x)恒为0 所以是两个一元函数乘积 我认为当f(x)、g(x)中有一个为0就可以啊 为啥能推出两个都是一元函数呢
继续：当Z不为零时,两边积分
可写成 α(u)/α(y)除以u=α(z)/α(y)除以z
第二个疑问：为啥能除以u ,u可能为0吗
继续
两边积分：∫α(u)/α(y)除以u=∫α(z)/α(y)除以z
所以lnu=lnz+ln[ψ1(x)]
第三个疑问：因为是二元函数,所以要设关于x的常数而看成常数
那为啥是lnu=lnz+ln[ψ1(x)]而不是 lnu=lnz+ψ1(x)

答案

对于第一个疑问,我认为确实不必两个都为0
但是它讨论的情况就是z=0,我觉得这就可以看成两个一元函数啊f(x)=0和f(y)或者是f(x)和f(y)=0
反正还是两个一元函数的乘积啊
对于第二个疑问,我们这里一般不用那么严密,这里u不能为0也不必单独考虑
你可以看看最后求出的函数,lnu脱去对数符号后,其实u=0的情况的也是包含在内的
对于第三个疑问
ψ1(x)是一种函数法则,ln[ψ1(x)]也是一种函数法则,你可以将其想象成另一个函数h(x)
因为这里的函数符号是任意的,所以可以设成这样一个函数
这样设只是为了下一步脱去对数符号的方便