原题:在1,2,3,……,2008中最多可选出多少个数,使选出的数中任意两个的和都不能被3整除.

原题:在1,2,3,……,2008中最多可选出多少个数,使选出的数中任意两个的和都不能被3整除.

题目
原题:在1,2,3,……,2008中最多可选出多少个数,使选出的数中任意两个的和都不能被3整除.

分析:题中2008个数的归四类:
(1)能被3整除的数有(2008-1)÷3=669个:(3,6,9,...,2007)
(2)能被3整除余1的数有(2008-1)÷3=669个:(4,7,10,...,2008)
(3)能被3整除余2的数有(2008-4)÷3=668个:(5,8,11,...,2006)
(4)谁都不属的数有2个:(1,2)
以上四种类数独立分析:
二个除尽的数的和能被3整除,因此,(1)中的数不满足题的条件.
二个同余1的数的和不能被3整除,因此,(2)中的669个数满足题的条件.
二个同余2的数的和不能被3整除,因此,(3)中的668个数满足题的条件.
谁都不属的只有(1,2)二个数,但这二个数的和可以被3整除,因此,(4)中的数不满足题的条件.
以上四类数的独立分析结果是,这二类数共有669+668个数.
现在进行各类数的结合分析:
深析一:
(2)与(3)结合:一个余1与一个余2的数的和可以被3整除,这样,(2)和(3)不能并存,只能留一块舍一块,先分析留(2)669个余1的数:
(1)与(2)结合:一个除尽的数和一个余1的数的和,不能被3整除.结合前面所述,只能在(1)中任意取一个数就行了.这样,符合要求的数就应有669+1=670个.
(4)与(2)结合:在(1,2)中,数1与余1的任合一个数的和,不能被3整除;
(4)与(1)结合:在(1,2)中,数1与一个除尽的数的和,也不能被3整除.根据这二条,(4)中的1被选中.
所以满足题意要求的数共有670+1=671个.
深析二:
(2)和(3)结合:一个余1与一个余2的数的和可以被3整除,这样,(2)和(3)不能并存,只能留一个,现分析留(3)668个余2的数:
(1)与(3)结合:一个除尽的数和一个余2的数的和,不能被3整除.结合前面所述,只能在(1)任意取一个除尽的数就行了.这样,符合要求的数就应有668+1=669个.
(4)与(2)结合:在(1,2)中,数2与余2的任合一个数的和,不能被3整除;<
答案
671
因为3n+1的数为1,4,7,……2008
(2008-1)÷3+1=670
3n+1全部选出再随便加一个3n的(比如3)
所以 670+1=671个
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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