正方形ABCD的边长为4,点MN分别在线段AB,AD上,若2MN平方+CM平方+CN平方=54,则AM+A

题目

正方形ABCD的边长为4,点MN分别在线段AB,AD上,若2MN平方+CM平方+CN平方=54,则AM+A
则AM+AN的取值范围是多少

答案

勾股定理：
MN^2=AM^2+AN^2
CM^2=BC^2+BM^2
CN^2=CD^2+DN^2
BC=CD=4
即
2(AM^2+AN^2)+BM^2+DN^2=22
2(AM^2+AN^2)+(4-AM)^2+(4-AN)^2=22
3AM^2-8AM+3AN^2-8AN=-10
3(AM-4/3)^2+3(AN-4/3)^2=-10+32/3
(AM-4/3)^2+(AN-4/3)^2=2/9
也就是说存在一个直角三角形斜边平方62/9,直角边是AM-4/3和AN-4/3
于是AM+AN在8/3+sqrt(2)/3到8/3+2/3=10/3之间.