已知圆C过点O(0,0),A(1,3),B(4,0).(1)求圆C的方程;(2)若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点,且∠MON=60°,求m的值.

已知圆C过点O(0,0),A(1,3),B(4,0).(1)求圆C的方程;(2)若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点,且∠MON=60°,求m的值.

题目
已知圆C过点O(0,0),A(1,3),B(4,0).
(1)求圆C的方程;
(2)若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点,且∠MON=60°,求m的值.
答案
(1)设圆C的方程为 x2+y2+dx+ey+f=0,则由题意可得
f=0
1+9+d+3e+f=0
16+4d+f=0
,解得 
d=-4
e=-2
f=0

∴圆C的方程为 为 x2+y2-4x-2y=0.
(2)由于直线l:x+2y+m=0的斜率等于-
1
2
,而OC的斜率为
1
2
,故直线l和OC垂直.
∵∠MON=60°,点O在圆C上,∴∠MCN=120°,且点C在直线MN的下方.
在等腰三角形MCN中,可得点C到直线MN的距离等于rcos60°=
5
2

5
2
=
|2+2+m|
5
,解得 m=-
3
2
,m=-
13
2

经检验可得,m=-
3
2
时,点C在直线l的上方,不满足题意,舍去.
故只有 m=-
13
2
(1)设圆C的方程为 x2+y2+dx+ey+f=0,则由题意可得
f=0
1+9+d+3e+f=0
16+4d+f=0
,解得a、b、c的值,
即可求得圆的方程.
(2)由题意可得,点C在直线MN的下方,在等腰三角形MCN中,可得点C到直线MN的距离等于
5
2

5
2
|2+2+m|
5
,由此解得m的值.

直线与圆相交的性质.

本题主要考查利用待定系数法求圆的方程,直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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