设函数f(x)=e^x-ax-2

题目

设函数f(x)=e^x-ax-2
若a=1,k为整数,且当x>0时,（x-k）f'(x)+x+1>0,求k的最大值

答案

a=1
f'(x)=e^x-1
（x-k）f’（x）+x+1>0 即(x-k)(e^x-1)+x+1>0
设g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1 (x>0)
g'(x)=e^x-1+(x-k)e^x+1=[x-(k-1)]e^x
k-1≤0,即k≤1 时,
∴x-(k-1)>0
∴g'(x)>0 恒成立,g(x)为增函数
∴g(x)>g(0)=k+
∴k+1≥0
∴-1≤k≤1当k≥2时,（ k为整数,）
00,g(x)递增
∴g(x)min=g(k-1)=1-e^(k-1)+k
1-e^(k-1)+k>0 ==>1+k>e^(k-1)
k=2时,3>e成立
k=3时,4>e²不成立
k≥4时,k+1