数列an满足a1=1,an=2an-1/(2+an-1) (n≥2),用数学归纳法求an的通项公式?

题目

数列an满足a1=1,an=2an-1/(2+an-1) (n≥2),用数学归纳法求an的通项公式?

答案

a2=2*1/(1+2)=2/3
类似的a3=1/2
a4=2/5
a5=1/3
注意,1=2/2,1/2=2/4,1/3=2/6
所以猜想an=2/(1+n)
①k=1已经成立
②假设k=n时an=2/(1+n)成立,k=n+1时,an+1=2an/(2+an)=2/(n+2)=2/((n+1)+1)
即对于k=n+1也成立
由一二可得,对任意n,an有通项公式an=2/(1+n)