已知(an)是一个等差数列且a2=1,a3=-5,求(an)的通项和(an)的前n项和Sn的最大值

题目

已知(an)是一个等差数列且a2=1,a3=-5,求(an)的通项和(an)的前n项和Sn的最大值

答案

设等差数列的公差为d
因为(an)是一个等差数列且a2=1,a3=-5,
则d=a3-a2=-5-1=-6
所以an=a2+(n-2)d=1+(-6)(n-2)=13-6n
当n=1时,a1=13-6*1=7
所以Sn=na1+n(n-1)d/2=7n+(-6)n(n-1)/2
=10n-3n^2
因为10n-3n^2这个的图像是一条抛物线且开口向下.
它的对称轴为n=-10/[(-3)*2]=5/3
又|1-5/3|>|2-5/3|(离对称轴越远函数值越小)
所以当n=2时,Sn最大,Sn的最大值为S2=10*2-3*2^2=8