已知n=(2cosx,3sinx),m=(cosx,2cosx),设f(x)=n•m+a. (1)若x∈[0,π2]且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值; (2)若x
题目
已知
=(2cosx,sinx),=(cosx,2cosx),设f(x)=
•+a.
(1)若
x∈[0,]且a=l时,求f(x)的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值;
(2)若x∈[0,π]且a=-1时,方程f(x)=b有两个不相等的实数根x
1、x
2,求b的取值范围及x
1+x
2的值.
答案
f(x)=
•+a=2cos2x+2sinxcosx+a
=
cos2x+1+sin2x+a=2sin(2x+)+a+1
(1)a=1,
f(x)=2sin(2x+)+2∵
0≤x≤∴
≤2x+≤ 当
2x+=即
x=,f(x)max=4;x=,f(x)min=1.
(2)
a=−1,f(x)=2sin(2x+)∵0≤x≤π,∴
≤2x+≤∴-
≤sin(2x+)≤1,∴-1≤f(x)≤2
当f(x)=b有两不等的根,结合函数的图象可得1<b<2或-2<b<1
b∈(-2,1)∪(1,2);
x1+x2=,利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得
f(x)=2sin(2x+ )+a+1(1)代入a=1,可得
f(x)=2sin(2x+) +2,由x的范围可得
2x+∈[,],从而找出最值及取最值的条件
(2)代入a=-1,可得
f(x)=2sin(2x+),结合该函数在区间[o,π]的图象把方程f(x)=b的根转化为函数图象的交点问题
三角函数的最值;正弦函数的图象.
本题以向量的数量积为切入点,实际考查三角函数y=Asin(wx+∅)(A>0,w>0)的性质,也体现了数形结合思想在解题中运用
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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