过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于P、Q两点,求线段PQ中点的轨迹方程.

过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于P、Q两点,求线段PQ中点的轨迹方程.

题目
过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于P、Q两点,求线段PQ中点的轨迹方程.
答案
∵y2=4x的焦点坐标为F(1,0)
∴当直线PQ的斜率k存在时,可设其方程的y=k(x-1),且k≠0
又设P(x1,y1),Q(x2,y2),中点M的坐标为(x0,y0),则有:
2y0=y1+y2
2x0=x1+x2

而由题意,得
y
2
1
=4x1
y
2
2
=4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2

k=
2
y0
…(4分)
∵点M(x0,y0)在直线PQ上
y0=k(x0-1)
y
2
0
=2(x0-1)

即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2(x-1)…(5分)
而当直线PQ的斜率不存在时,有PQ⊥x轴,此时PQ的中点M,即为焦点F(1,0),满足y2=2(x-1)
综上,线段PQ中点的轨迹方程为y2=2(x-1)…(6分)
确定y2=4x的焦点坐标,分类讨论,利用点差法,即可求得结论.

圆锥曲线的轨迹问题;抛物线的简单性质.

本题考查轨迹方程,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.

举一反三
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