已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)

题目

已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)

答案

分析：
先观察一下不等式两边次数,左边-3/2次比右边1/2次小2次,正好是已知条件多项式的次数.不妨试试给左边乘以已知条件中的式子变成齐次式,以利用基本不等式证明.
将用到的基本不等式：若x、y、z都是正数,那么：
x^3+y^3+z^3>=3xyz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
等号成立的条件是x=y=z
这两个不等式都是平均值不等式的简单推导结论.
证明：
√a/bc+√b/ac+√c/ab
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3]/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3](ab+bc+ca)/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3][(√ab)^2+(√bc)^2+(√ca)^2]/abc
>=3(√a√b√c)(√ab√bc+√ab√ca+√bc√ca)/abc
=3[√(abc)][√(abc)](√a+√b+√c)/abc
=3abc(√a+√b+√c)/abc
=3(√a+√b+√c)
当且仅当a=b=c时等号成立.
证毕!