计算∫(0~1)x^2f(x)dx,其中f(x)=∫(1~x)dt/(1+t^4)^1/2

题目

计算∫(0~1)x^2f(x)dx,其中f(x)=∫(1~x)dt/(1+t^4)^1/2

答案

分部积分：注意到f(1)＝0,且f'(x)＝1/(1+x^4)^(1/2),于是原式＝∫(0~1)f(x)d(x^3/3)＝x^3f(x)/3|上限1下限0－∫(0~1)x^3/3*f'(x)dx=－1/3*∫(0~1)x^3/(1+x^4)^(1/2) dx＝－1/3*∫(0~1)1/(1+x^4)^(1/2) d(x^4+1)/4=－...