常数k为何值时∫(b,a)(1/(x-a)^k)dx(b>a)收敛,发散

题目

常数k为何值时∫(b,a)(1/(x-a)^k)dx(b>a)收敛,发散

答案

∫(a→b) dx/(x - a)^k
当k = 1
∫(a→b) dx/(x - a)
= ∫(a→b) d(x - a)/(x - a)
= ln(x - a) |(a→b)
= ln(b - a) - lim(x→a) ln(x - a)
积分发散
当k > 1
∫(a→b) dx/(x - a)^k
= [(x - a)^(1 - k)]/(1 - k) |(a→b)
= 1/[(h - 1)(x - a)^h] |(a→b),∵k > 1,1 - k < 0,不妨设h = k - 1 > 0
= 1/[(h - 1)(b - a)^h] - lim(x→a) 1/[(h - 1)(x - a)^h]
积分发散
当k < 1
∫(a→b) dx/(x - a)^k
= [(x - a)^(1 - k)]/(1 - k) |(a→b),1 - k > 0
= [(b - a)^(1 - k)]/(1 - k)
所以当k < 1时收敛,当k ≥ 1时发散