对于：x-y能整除(x^n)-(y^n) x+y能整除(x^n)+(y^n),n为奇数,如何证明?有什么推广吗?

题目

对于：x-y能整除(x^n)-(y^n) x+y能整除(x^n)+(y^n),n为奇数,如何证明?有什么推广吗?

答案

(1)证明x-y能整除x^n-y^n； 当n=1时,x-y能整除x-y,命题成立； 假设当n=k(k≥1)时命题成立,即x^k-y^k=(x-y)t,则当n=k+1时,x^(k+1)-y^(k+1)=x^(k+1)-x^ky+x^ky-y^(k+1)=x^k(x-y)+y(x^k-y^k)=x^k(x-y)+y(x-y)t=(x-y)(x^k+yt),所以x-y能整除x^(k+1)-y^(k+1),所以对于所有自然数n原命题均成立.(2)证明当n为奇数时,x+y整除x^n+y^n； 令n=2m-1,m为自然数.当m=1时,命题成立； 设当m=k(k≥1)时命题成立,即x^(2k-1)+y^(2k-1)=(x+y)t；当m=k+1时,x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^(2k+1)-x^(2k-1)y^2+x^(2k-1)y^2+y^(2k+1)= x^(2k-1)(x^2-y^2)+y^2[x^(2k-1)+y^(2k-1)] =x^(2k-1)(x-y)(x+y)+y^2(x+y)t= (x+y)[x^(2k-1)(x-y)+y^2t],所以x+y能整除x^(2k+1)+y^(2k+1),所以对一切自然数m,x+y均能整除x^(2m-1)+y^(2m-1),即当n为奇数时x+y能整数x^n+y^n.