初等数论作业求助2

题目

初等数论作业求助2
第二次网络作业
一、填空
1.（136,221,391）=

2.只有10个正约数的最小正数为( )

3. 求所有正约数的积等于64的一切正整数( )

4.527!中5的最高幂为( )

5.求满足3(n!)=7的n( )

二、证明：从1,2,……,100中任意选取51个数,其中必有一个数是另一个数的倍数.
三、将1,2,……,n 分为无公共元素的组,使得每个数都不与它的2倍数在同一 组, 问至少要分几组?
四 、4个连续的自然数的乘积加上1一定是平方数.

答案

1、17
2、2^9=512
3、由于64=2^6,而1+2+3=6,所以2^3=8为所求.
4、考虑等差数列5,10,15,……,525.一共有105项,但是其中包含5^2=25,5^3=125这两个数.因此527!中5的最高幂为105+1+2=108.
二、利用抽屉原理,构造{1,2},{3,6},……{50,100}这样共50个抽屉,显然选取51个数至少要选择其中一个抽屉,即必有一个数是另一个数的倍数.证毕.
四、(t-1)t(t+1)(t+2)+1=(t^2+t-1)^2