在极坐标中,极点为O.曲线C:ρ=5,过点A(3,0)作两条相互垂直的直线与c分别交于点P,Q和M,N

题目

在极坐标中,极点为O.曲线C:ρ=5,过点A(3,0)作两条相互垂直的直线与c分别交于点P,Q和M,N
（1）当PQ/MN+MN/PQ=2时,求直线PQ的极坐标方程
（2）求PQ/MN+MN/PQ的最大值

答案

（1）设PQ:x-my-3=0,MN:mx+y-3m=0.
圆心O(0,0)到PQ的距离d1=3/√（1+m^2）,
到MN的距离d2=|3m|/√（m^2+1）,
|PQ|=2√(25-d1^2),|MN|=2√（25-d2^2),
PQ/MN+MN/PQ=2时,PQ=MN,d1=d2,m=土1,
PQ:x土y-3=0,即ρcosθ土ρsinθ-3=0,
亦即ρ=3/(cosθ土sinθ).
(2)PQ^2+MN^2=4[50-(d1^2+d2^2)]
=4(50-9)=164,
∴|PQ|*|MN|=2,
当PQ=MN时取等号,
∴PQ/MN+MN/PQ的最小值为2,
MN*PQ=4√[625-25(d1^2+d2^2)+d1^2*d2^2]
=4√[400+(d1d2)^2]
>=40,
当m=0时取等号,
∴PQ/MN+MN/PQ的最大值为4.1.