在三角形ABC中,作平行于BC的直线交AB于D,交AC于E,如果BE和CD相较于O,AO和DE相较于F,AO的延长线和BC相交于G,证明BG=GC.这是高中数学选修4-1的一道题.

题目

在三角形ABC中,作平行于BC的直线交AB于D,交AC于E,如果BE和CD相较于O,AO和DE相较于F,AO的延长线和BC相交于G,证明BG=GC.这是高中数学选修4-1的一道题.

答案

因为DE//BC,所以角ADE=角ABC,角AED=角ACB,角AFE=角AGC
,角AFD=角AGB.所以ADF相似于ABG,AFE相似于AGC,ADE相似于ABC
所以AD/AB=DF/BG,AE/AC=FE/GC.而AD/AB=AE/Ac,所以DF/BG=FE/GC.此式可变形为BG/GC=DF/FE.
因为DE//BC,所以FEO相似于GBO,DFO相似于CGO,所以DF/GC=FO/OG=FE/BG.有GC/BG=DF/FE.又已证明BG/GC=DF/FE,所以GC/BG=BG/GC.得BG=GC.