设曲线C:y=x^3-3x和直线x=a(a＞0)的交点为P,过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(-a,0),求a的值

题目

设曲线C:y=x^3-3x和直线x=a(a＞0)的交点为P,过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(-a,0),求a的值
急………求具体过程

答案

联立：y＝x^3－3x、x＝a,得：点P的坐标是（a,a^3－3a）.
对y＝x^3－3x两边求导数,得：y′＝3x^2－3,∴过点P的切线的斜率＝3a^2－3.
∴PQ的方程为：y－（a^3－3a）＝（3a^2－3）（x－a）.
将Q（－a,0）的坐标代入PQ的方程中,得：0－（a^3－3a）＝（3a^2－3）（－a－a）,
∴a^3－3a＝2a（3a^2－3）.
∵a＞0,∴a^2－3＝2（3a^2－3）＝6a^2－6,∴5a^2＝3,∴a＝√（3/5）＝√15/5.
即：满足条件的a的值是√15/5.