高数!求r=3（1-sinβ）所围成的图形面积

题目

高数!求r=3（1-sinβ）所围成的图形面积

答案

直接用极坐标下求面积的二次积分就可以了
∫[0,2 π]∫ [0,3 (1 - Sin[β])] r dr dβ,中括号中是积分的下限和上限.
=(27 π)/2
∫[0,2 π]∫ [0,3 (1 - Sin[β])] r dr dβ=
∫[0,2 π] r^2/2,r∈[0,3 (1 - Sin[β])] dβ=
∫[0,2 π] (3 (1 - Sin[β]))^2/2 dβ=
9/2*∫[0,2 π] (1 - Sin[β])^2 dβ=
9/2*∫[0,2π](1-Sin[β])^2dβ=
9/2*∫[0,2π]1-2Sin[β]+Sin[β]^2dβ=
9/2*∫[0,2π]3/2dβ-9/2*∫[0,2π]2Sin[β]dβ+9/2*∫[0,2π]-1/2+Sin[β]^2dβ=
27π/2-0+9/2*∫[0,2π]-1/2Cos[2β]dβ=
27π/2-0-9/4*∫[0,2π]Cos[2β]dβ=
27π/2-0-0=
27π/2