设函数f（x）=1/3x3-mx2+（m2-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数m的取值范围．

题目

设函数f（x）=

1

3

x³-mx²+（m²-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；当x∈（m+2，...

本题利用导数来研究恒成立问题．先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数f（x）的零点分布问题，最后转化为一个一元二次方程的根的分布问题．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．属于基础题．