均值定理证明不等式

均值定理证明不等式

题目
均值定理证明不等式
已知x ,y都是实数
并且y = x^2
求证2^x + 2^y > 2的7/8次方
答案
2^x和2^y都大于等于零.因此:
2^x + 2^y >= 2根号( 2^x * 2^y ) 【等号成立条件:x=y=0或1】
= 2根号( 2^(x+y) ) = 2根号( 2^(x^2+x ) )
2的指数是x^2 + x,配方:
x^2 + x = x^2 + x + 1/4 - 1/4 = (x+1/2)^2 - 1/4
因为(x+1/2)^2 >= 0,因此(x+1/2)^2 - 1/4 >= -1/4,即x^2 + x >= -1/4
【等号成立条件:x = -1/2】
注意到2的多少次方这个函数是增函数.所以指数大的最后也大.那么最前面的推导可以继续往下写:
2根号( 2^(x^2+x ) ) >= 2根号( 2^(-1/4) ) = 2 * 2 ^ (-1/8) = 2^(7/8)
要使推导过程中的两个等号同时成立是不可能的.因此2^x + 2^y > 2的7/8次方.
这个题的关键在找出x^2+x究竟大于那个值.可以用上面的方法来解决.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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