设M=(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1),且a+b+c=1(其中a,b,c都是实数),求M的取值范围

题目

设M=(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1),且a+b+c=1(其中a,b,c都是实数),求M的取值范围

答案

因为a+b+c=1
M=(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=(b+c)/a*(a+c)/b*(b+c)/a
=(a+b)(b+c)(c+a)/abc
∵a+b≥2√ab
b+c≥2√bc
a+c≥2√ac
上面三式相乘,得
∴(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc
(b+c)(a+c)(b+a)/abc≥8
∴
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8