已知平面直角坐标系中,有点A(1 ,3 ),B(4,2),直线L的方程为x+y+1=0

题目

已知平面直角坐标系中,有点A(1 ,3 ),B(4,2),直线L的方程为x+y+1=0
P为直线l上的一个动点,（1）求|PA|^2+|PB|^2的最小值,并求出此时点p坐标（2）|PA|+|PB|的最小值,并求出此时点p坐标

答案

（1）设P点坐标为（x,y）其中y=-（x+1)；
|PA|^2+|PB|^2=（x-1)^2+(y-3)^2+(x-4)^2+(y-2)^2=4x^2+4x+42
令4x^2+4x+42=Y；对等式两边同时求导,同时令Y‘=0解得x=-2
所以Y=50,此时P点坐标为（-2,1)
(2)求|PA|+|PB|的最小值等价于求（|PA|+|PB|）^2的最小值.
（|PA|+|PB|）^2=|PA|^2+|PB|^2+2|PA||PB|=50+2|PA||PB|=88.7603
（|PA|+|PB|）min=9.42