一个正三角形的三个顶点都在双曲线x2-ay2=1的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a的取值范围．

题目

一个正三角形的三个顶点都在双曲线x²-ay²=1的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a的取值范围．

答案

由题意可知正三角形的一个顶点的坐标为（1，0），另两个关于x轴对称，
故可得等边三角形双曲线右顶点的两个边的斜率分别为

3

3

，-

3

3

双曲线的渐近线方程是y=±

1

a

所以有

1

a

≤

3

3

解得a＞3．

先根据题意设双曲线的方程，进而得到右顶点的坐标，再由正三角形的对称性可设其他两点中任意点的坐标，然后得到横纵坐标之间的关系，然后将点代入双曲线方程，根据判别式大于等于0可求出a的范围．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查双曲线的基本性质．考查运算能力．