在曲线y=x2上切线的倾斜角为π4的点的坐标为_．

题目

在曲线y=x²上切线的倾斜角为

π

4

的点的坐标为______．

答案

设切点的坐标为（a，a²）
∵切线的倾斜角为

π

4

，
∴切线的斜率k=tan

π

4

=1．
对y=x²求导数，得y'=2x，
∴2a=1，得a=

1

2

，可得切点的坐标为（

1

2

，

1

4

）．
故答案为：(

1

2

，

1

4

)

由切线的倾斜角为

π

4

，算出切线的斜率k=1．设切点的坐标为（a，a²），求出函数y=x²的导数为y'=2x，根据导数的几何意义得2a=1，解得a=

1

2

，从而可得切点的坐标．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题求抛物线y=x²上切线的倾斜角为

π

4

的点的坐标．着重考查了抛物线的性质、切线的几何意义、直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．