已知函数f(x)=x^3-ax+1定义在区间[0,1]上,a=2,求证：对于x1,x2属于[0,1]且x1≠x2,有|f(x1)-f(x2)|

题目

已知函数f(x)=x^3-ax+1定义在区间[0,1]上,a=2,求证：对于x1,x2属于[0,1]且x1≠x2,有|f(x1)-f(x2)|

答案

f(x1)=x1^3-ax1+1,f(x2)=x2^3-ax2+1,|f(x1)-f(x2)|=|(x1^3-ax1+1)-(x2^3-ax2+1)|=
|(x1^3-x2^3)-a(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2)-a(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2-2)|=
|(x1-x2)||(x1^2+x2^2+x1x2-2)|(两式相乘的绝对值等于绝对值相乘),所以只需证明
|(x1^2+x2^2+x1x2-2)|