1.已知a,b均为有理数,且满足等式5-√2*a=2b+2/3√2-a,

题目

1.已知a,b均为有理数,且满足等式5-√2*a=2b+2/3√2-a,
求a,b的值
2.计算√111…11-222…22的值
2n个1 n个2
3.已知√a*a+2005是整数，求所有满足条件的正整数a的和
4.设直线kx+(k+1)y=1(k为正整数)与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk(k=1,2,3,…,2005)，那么S1+S2+S3+…+S2005=______

答案

好题呀!
1.解
5-√2*a=2b+2/3√2-a,
（2b-a-5）+（a+2/3）√2=0
因为a,b均为有理数
所以2b-a-5=0,且a+2/3=0
解得a=-2/3,b=13/6
2.
√（11-2）=√9=3
√（1111-22）=√1089=33
√（111111-222）=√110889=333
………………………………
所以√（111…11-222…22）=333……33
其中有2n个1, n个2 ,n个2
3.
设√（a²+2005）=n,（n＞a,且n,a为正整数）
则a²+2005=n²
即n²-a²=2005
（n-a)(n+a）=2005=1*2005=5*401
所以正整数n-a=1,n+a=2005,或n-a=5,n+a=401
解得n=1003,a=1002,或n=203,a=198
所以所有满足条件的正整数a的和为1002+198=1200
4.直线kx+(k+1)y=1(k为正整数)与两坐标轴交点为：
（1/k,0）[0,1/(k+1)]
所围成的图形的面积
Sk=1/2*1/k*1/(k+1)=1/[2k(k+1)]
所以S1+S2+S3+…+S2005
=1/2[1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/(2005*2006)]
=1/2(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/2005-1/2006)
=1/2(1-1/2006)
=1/2*2005/2006
=2005/4012