设定义在R上的函数f(x）,对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·(y),且当x＞0时恒有f(x）＞1 ,若f(1)=2.

题目

设定义在R上的函数f(x）,对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·(y),且当x＞0时恒有f(x）＞1 ,若f(1)=2.
（1）求f(0)
(2)求证;x∈R时f(X)为单调增函数.
（3）解不等式f（3x-x²）＞4.

答案

（1）由f(1)=2得
f(x+0)=f(x)*f(0)故必有f(0)=1
f(0)=f(x)*f(-x)=1
（2）故x∈R有f(x)>0
设x0>0则有
f(x+x0)-f(x)=f(x)*f（x0）-f(x)=f(x)(f(x0)-1)
因为对于任意的x0>0时,恒有f(x0)>1
故f(x+x0)-f(x)>0
函数为单调递增函数
（3）由于函数单调故函数故函数值和自变量一一对应
4=2*2=f(1)*f(1)=f（2）