已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a底n-1+2^n-1,设bn=an/2^n-1,

题目

已知数列{an}中,满足a1=1,an=2a底n-1+2^n-1,设bn=an/2^n-1,
(1)证明数列{bn}是等差数列
(2)求数列{an}的通项公式

答案

1.
n≥2时,
an=2a(n-1)+2^(n-1)
等式两边同除以2^(n-1)
an/2^(n-1)=a(n-1)/2^(n-2) +1
an/2^(n-1)-a(n-1)/2^(n-2)=1,为定值
a1/2^0=1/1=1,数列{an/2^(n-1)}是以1为首项,1为公差的等差数列
bn=an/2^(n-1)
数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列
an/2^(n-1)=1+1·(n-1)=n
an=n·2^(n-1)
n=1时,a1=1·2^0=1·1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n·2^(n-1)