已知a,b,c,d都是实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

已知a,b,c,d都是实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

题目
已知a,b,c,d都是实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
答案
证法1:(分析法)要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立,
即证:a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 成立,
即证:2abcd≤a2d2+b2c2 成立,
即证:0≤a2d2+b2c2-2abcd=(ad+bc)2成立,
上式明显成立.
故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
证法2:(综合法)因为a2d2+b2c2≥2abcd(重要不等式),
所以(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2+b2)(c2+d2).
证法3:(作差法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2(2分)
=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+b2d2+2abcd)
=b2c2+a2d2-2abcd=(b2c2-a2d22≥0,
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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