lim x-> 1 (ax^4 + bx^3 + 1)/[(x-1)(sin (pi x)],a,b是常数,极限存在且为有限,问LIM是多少?

题目

lim x-> 1 (ax^4 + bx^3 + 1)/[(x-1)(sin (pi x)],a,b是常数,极限存在且为有限,问LIM是多少?

答案

由于极限存在且为有限,分母极限为0,因此分子极限必为0,
得：lim[x→1] (ax^4+bx³+1)=0,则：a+b+1=0
sin(πx)=sin(π-πx),由于(π-πx)→0,则sin(π-πx)等价于(π-πx)
极限化为：
lim[x→1] (ax^4+bx³+1)/[(x-1)(π-πx)]
=-(1/π)lim[x→1] (ax^4+bx³+1)/(x-1)²
极限为0/0型,洛必达法则
=-(1/π)lim[x→1] (4ax³+3bx²)/[2(x-1)]
分母极限为0,则分子极限必为0,得：4a+3b=0
由a+b+1=0,4a+3b=0联立解得：a=3,b=-4,代入极限得：
原极限=-(1/π)lim[x→1] (12x³-12x²)/[2(x-1)]
=-(6/π)lim[x→1] x²(x-1)/(x-1)
=-6/π
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