如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为_．

题目

如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为______．

答案

设DE=x．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴

BE

DE

＝

AB

AC

，BE=

4

3

x，则AE=4-

4

3

x．
则矩形AEDF的面积是x（4-

4

3

x）=-

4

3

x2+4x，根据二次函数求最值的方法，知矩形面积的最大值是

−16

4×(− 4 3 )

=3．
故答案为：3．