同圆的内接三角形和外切正三角形周长比是多少?

题目

同圆的内接三角形和外切正三角形周长比是多少?

答案

设圆的半径为R,对于圆的内接正三角形ABC来说,连接圆心O和A,过O点作AB的垂线OD,显然,OA=R,∠OAB=30度
所以AB=2*R*cos30=R根号3
所以▲ABC的周长为3R根号3
设圆的外切三角形为A'B'C',连接圆心O和A',过O点作A'B'的垂线OD'
显然OD'=R,∠OA'B'=30度,
A'B'=2R*cot30=2R根号3,所以▲A'B'C'的周长为6R根号3
所以同圆的内接正三角形和外切正三角形周长比是1:2