如图，已知E是正方形ABCD的边BC的中点，点F在边CD上，且∠BAE=∠FAE， 求证：AF=AD+CF．

题目

如图，已知E是正方形ABCD的边BC的中点，点F在边CD上，且∠BAE=∠FAE，
求证：AF=AD+CF．

答案

证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∵∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，

BE＝EG AE＝AE

，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC=AD+CF．

过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明△ABE≌△AGE，即可得AG=AB，同理证明出CF=GF，于是结论可以证明．

本题考点：正方形的性质；角平分线的性质．

考点点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．