lim(x→∞)[n*(0.5)^n]

题目

lim(x→∞)[n*(0.5)^n]
根据极限的四则运算,lim(x→∞)(0.5)^n=0,lim(x→∞)n=∞,那么lim(x→∞)n*(0.5)^n=lim(x→∞)n*lim(x→∞)(0.5)^n,不就是不成立吗,那为什么极限是0
这样的话四则运算不是不成立吗··········那假如说(0.5)^n很小很小但永远都到不了0，n很大很大，那么这样乘一下，

答案

进行极限四则运算,必须是各函数的极限为一确定值.而题给式子实际可看作∞/∞型或0/0型,这两种形式的式子（还有其他形式如0^∞型）不能运用极限四则运算进行运算,而要用其他方法.这在大学高等数学中要讲到.题给式子即可用罗比达法则计算.即∞/∞型或0/0型式子极限等于分子的导数除以分母的导数.正确的算法是：
原式=lim(n→∞)(n*（1/2)^n
=lim(n→∞)(n/2^n) （∞/∞型）
=lim(n→∞)(1/(ln2*2^n)) (洛比达法则)
分母→∞,分子为1,结果为0
即lim(n→∞)[n*(0.5)^n] = 0