如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=42，求⊙O的直径．

题目

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=4

2

，求⊙O的直径．

答案

连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵AD⊥BC，AC=5，DC=3，
∴AD=

AC2−DC2

=4，
∵AB=4

2

，
∴在Rt△ABD中，sin∠B=

AD

AB

=

2

2

，
∴∠B=45°，
∵AE是直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠B=45°，
∴AE=

AC

sin45°

=5

2

．
∴⊙O的直径为5

2

．

首先连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE，由勾股定理可求得AD的长，又由AB=4

2

，即可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，可得△ACE是等腰直角三角形，继而求得⊙O的直径．

本题考点：圆周角定理；解直角三角形．

考点点评：此题考查了圆周角定理、勾股定理以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．