如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证： （1）AE∥平面BDF； （2）平面BDF⊥平面ACE．

题目

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：

（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．

答案

证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得  FG∥AE，
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．