如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若OC∥AD，OC交BD于点E，BD=6，CE=4，求AD的长．

题目

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OC∥AD，OC交BD于点E，BD=6，CE=4，求AD的长．

答案

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，AD⊥BD．（1分）
∴∠A+∠ABD=90°．（2分）
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．（3分）
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切．（4分）
（2） ∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=

1

2

BD=3．（6分）
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．（7分）
∴

OE

BE

=

BE

EC

即

OE

3

=

3

4

，
∴OE=

9

4

．（9分）
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=

9

2

．（10分）