设αβ满足不等式sinα2+sinβ2=sin(α+β)的两个锐角,求证α+β=π/2
题目
设αβ满足不等式sinα2+sinβ2=sin(α+β)的两个锐角,求证α+β=π/2
答案
证明
∵sin²α+sin²β=sin(α+β)
1-cos²α+sin²β=sin(α+β),
即1-cos(α+β)cos(α-β) =sin(α+β).
由sin(α+β)≤1,得
cos(α+β)cos(α-β)≥0,
又α+β∈(0,π),α-β∈(-π2,π2),
∴cos(α+β)≥0,故0
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