已知,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆交AC于E,D是BC中点,OD交圆O于M,求证2DE^=DM*AC+DM*AB

题目

已知,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆交AC于E,D是BC中点,OD交圆O于M,求证2DE^=DM*AC+DM*AB

答案

证：0,B,D,E四点共圆
只需证：∠OBD=∠OED=90
∠OBD已经是了
AB直径,所以∠AEB=90=∠BEC,D又是中点
所以BD=DE
OB=OE
2等腰三角形底角等,
所以∠OED=90
注意OD是中位线,
所以DM=0D-0M=（AC-AB）
DM•AC+DM•AB
=DM•(AC+AB)
代入=（AC-AB）•(AC+AB)/2
=(AC^2-AB^2)/2
=BC^2/2
=4BD^2/2
=2BD^2
=2DE^2